Đặt z = a + bi với  a , b ∈ R

Khi đó

z - 2 i z - 2 = a + b - 2 i a - 2 + b i = a + b - 2 i a - 2 - b i a - 2 2 + b 2 = a a - 2 + b b - 2 a - 2 2 + b 2 + a - 2 b - 2 - a b a - 2 2 + b 2

z - 2 i z - 2  là số ảo khi và chỉ khi 

a a - 2 + b b - 2 a - 2 2 + b 2 = 0 ⇔ a 2 + b 2 = 2 a + b a - 2 2 + b 2 ≠ 0

Ta có

P = z - 1 + z - i = a - 1 + b i + a + b - 1 i = a - 1 2 + b + a 2 + b - 1 2 = a 2 + b 2 - 2 a + 1 + a 2 + b 2 - 2 b + 1 = 2 a + b - 2 a + 1 + 1 a + b - 2 a + 1 = 1 + 2 b + 1 + 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  2 a + b = a 2 + b 2 ≥ 1 2 a + b 2

Suy ra  a + b ≤ 4

Do đó  P 2 ≤ 2 2 + 2 a + b ≤ 20 ⇔ P ≤ 2 5

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2

Vậy maxP =  2 5  đạt được khi z = 2 + 2i

Đáp án C

Chọn C.

Ta có |z|² + |(z – 1 – 2i) + (1 + 2i)|² = |z – 1- 2i|² + |1 + 2i|² + 2(z – 1 – 2i)(1 + 2i)     (1)

|z – 3 – 6i|² = |(z – 1 – 2i) – 2(1 + 2i)|² = |z – 1 – 2i|² + 4|1 + 2i|² - 4(z – 1- 2i)(1 + 2i)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2|z|² + |z – 3- 6i|² = 3|z – 1- 2i|² + 6|1 + 2i| = 12 + 30 = 42.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovsky ta có:

Vậy 

Đáp án B

Đáp án D

Đặt 

Khi đó 

Xét hàm số 

Khi đó 

Đáp án C

Phương pháp: Gọi  là số phức cần tìm. Sử dụng giả thiết để đưa ra một hệ điều kiện đẳng thức, bất đẳng thức cho a,b. Sử dụng điều kiện trên để đánh giá và tìm giá trị lớn nhất của P.

 Lời giải chi tiết.

Giả sử số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng  Khi đó ta có 

Từ giả thiết ta suy ra

Do đó   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Chú ý. Đối với bài toán liên quan tới cực trị học sinh thường mắc phải sai lầm là quên tìm giá trị để cực trị xảy ra. Điều này có thể dẫn tới việc tìm sai giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Giả sử số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng z = a+bi Khi đó ta có

Đáp án C

Chọn A.

Gọi M( x; y)  là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy.

Ta thấy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm  I (2; 3)  và bán kính r = 1.

Do đó . ( khi 3 điểm O; I và M thẳng hàng).